140 
Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
denn führt man in dem zweiten Integrale die Substitution 
x = % + t aus, so kommt 
(n + l)n 
a.-r. 
U 7t 
jetzt beziehen sich a n und a n + l auf dasselbe Intervall, es ist 
aber 
\Jl-T L)7l 
/ sint dt. 
4TfT’ 
sin« 
« 
> \ I für alle Werte aus \no1, (n -f- l)sr]. 
Ferner ist 
1 < 
f 
(n +1 )n 
dx __ 
x 
n -\- 1 
es konvergiert also a n mit wachsendem n gegen die Grenze Null. 
Durch diese zwei Tatsachen ist die Konvergenz der Reihe 
a o + % -f- • • • erwiesen (76). 
Die Konvergenz des Integrals ist aber eine bedingte. Denn 
(« +1) n 
(n-y\)n 
sin« 
I I /* I si 
KI = J L 
dx ^ . ... 
X (n -j- 1)® 
n Ti 
si 
sin x | dx = 
{n -j- 1) Tt 
daher ist 
a o i + ! a i i + i a 2 I + ' ‘ ' + I a n 
> 2 i 1 + — + — -) f 
^ n \i ' 2 ' 3 ' r «4-1/ 7 
folglich (73, 1)) ist 
cc 
/ 
I sin« 
dx = + 00. 
Das analog gebaute Integral 
I 
sm« , 
--¡r- dx 
x 
(1 < v < 2) 
hingegen ist absolut konvergent. Von seiner Existenz über 
zeugt man sich auf dieselbe Art wie oben, von der absoluten 
Konvergenz durch die Bemerkung, daß jetzt 
(n + \)n (n + l)n 
I «» I -/l^ dx < I sin* I dx -