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Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
CO 
Das Integral 
hat den Wert + oo, weil 
- lim llx-ll 2 = + oq 
xlx 
daher ist die Reihe 
divergent. 
§ 3. Integration unendlicher Reihen. 
271. Hauptsatz über die Integration gleichmäßig- 
konvergenter Reihen. Die Aufgabe, eine konvergente un 
endliche Reihe, deren Glieder Funktionen von x sind, zu inte 
grieren, kann sich in zweifacher FVeise darbieten. Entweder 
ist die zu integrierende Funktion durch eine solche Reihe 
definiert, und dann liegt die Aufgabe unmittelbar vor* oder 
die Funktion unter dem Integralzeichen gehört zu denjenigen, 
deren unbestimmte Integration mittels der elementaren Funk 
tionen in endlicher Form nicht möglich ist, und dann wird 
man mittelbar zu jener Aufgabe geführt, wenn man die Funk 
tion in eine konvergente Reihe entwickelt. 
Es sei 
/00») + fli x ) + /-2 ( X ) + ' • ' 
(1) 
eine unendliche Reihe, deren Glieder in dem endlichen Inter 
valle (a, b) mit Einschluß der Grenzen eindeutige, stetige 
Funktionen von x sind, und die in dem genannten Intervalle 
gleichmäßig konvergiert (8l). Dann ist ihr Grenzwert f(x) eine 
in demselben Intervalle einschließlich seiner Grenzen stetige 
Funktion von x (83 j und daher zur Integration über (a, b) 
geeignet. Es handelt sich nur darum, in welcher Weise die 
Integration an der definierenden Reibe (1) zu vollziehen ist. 
Darüber belehrt nun der folgende Satz: 
Die durch gliedweise Integration einer in (a, b) gleich 
mäßig konvergenten Reihe f 0 (x) -f f x {x) -f- /2 0*0 + * * * entstan 
dene Reihe