Dritter Abschnitt. Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 145 
Gz über, Vorlesungen II. 2. Aufl. 
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o o u 
(2). Jf Q {x)dx +Jf x (x)dx + (Uix)dx -f 
a o a 
ist konvergent und 
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I f\x)dx 
a 
ihr Grenzwert, wenn f(x) der Grenzwert der vorgelegten Reihe ist, 
Setzt man nämlich. 
fo( x ) + fi( x ) + ' ' ' + tJ x ) = S ni X )f 
f n +i(. x ) + fn+s( x ) + r n( X )} 
so daß 
f(x) = s n (x) + rjx), 
so ergibt die Integration (222, 5)) 
6 6 6 
Jf(x)dx = / sjx)dx + Jr n (x)dx, 
a a cl 
und weiter ist auf derselben Grundlage 
6 6 6 6 
f s n {x)dx = Jf 0 (x)dx -fJf t (x)dx 4 1- Jf n {x)dx = S„(^). 
a a a a 
Dem Begriffe der gleichmäßigen Konvergenz gemäß läßt 
sich zu einem beliebig klein festgesetzten positiven s eine 
natürliche Zahl m bestimmen derart, daß für jedes x, wofür 
a x <[ b, 
1 r n (x) j < £, 
solange n^m-, daraus folgt, daß 
6 6 
j*'r n (x)dx < s^dx = s(h — a) 
a a 
und 
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I f{x) dx — S n {x) | < s (h — a) 
a 
für jedes n Ü> m. Daß aber der Unterschied zwischen 
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I f(x)dx und S n (x) dadurch, daß man n groß genug wählt,