Dritter Abschnitt. Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 157 
a 
£(1)- 1,626; E (y) = 1,467 ; E 
= 1,350: 
E 
(’?) - 
und schließlich E(1) = 1 (s. die Fußnote auf S. 155). 
§ 4. Differentiation durch Integrale definierter Funktionen. 
274. Das Integral als Funktion einer seiner Gren 
zen. Schon bei der Begriffsentwicklung des bestimmten Inte 
grals ergab sich die Tatsache, daß ein bestimmtes Integral, 
das auf eine in (cc, ß) endliche Funktion f(x) sich bezieht, 
eine Funktion der oberen, innerhalb (a, ß) variabel gedachten 
Grenze ist, und daß es nach dieser Grenze differentiiert die 
Funktion f(x) ergibt, falls dieselbe an der betreffenden Stelle 
stetig ist (222). 
In der Darstellung einer Funktion durch ein Integral mit 
veränderlicher oberer Grenze liegt eine wesentliche Erweiterung 
des Funktionsbegriffes; so sind durch 
0 
0 
a 
x 
dx 
(k*< 1, ja|<l); 
Y(l ■— íc 2 ) (1 — k 2 x 2 ) ’ 
0 
X 
0 
neue transzendente Funktionen von x definiert — der Integral- 
iogarithmus, Integralsinus, Integralkosinus, das elliptische Integral 
erster und zweiter Gattung — welche eine Darstellung mittels 
der elementaren Funktionen in geschlossener Form nicht 
gestatten. 
Die Formel für die Differentiation derart definierter Funk 
tionen lautet demnach 
X 
(1)