Dritter Abschnitt. Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 177 
den getroffenen Festsetzungen durchwegs positiv sind; efgh 
sei das den Intervallen *u, *, entsprechende Element von P. 
Sind weiter x 2k _ 1 = % k , y 2l _ x = rj l irgend zwei beliebige 
Werte aus (x 2k _ 2 , x 2i ), bzw. (y 2l _ 2 , y 2l ), so entspricht ihrer 
Verbindung ein Punkt aus efgh (mit Einschluß des Randes) 
und ein Funktionswert f(£ k , ■%). 
Bildet man nun für jedes Element efgh das Produkt 
f(£ k , Vi)d k s l und vereinigt diese Produkte zu der über alle Ele 
mente von P sich erstreckenden Doppelsumme 
q p 
1 1 
so läßt sich von dieser nach weisen, daß sie unter den über die 
Funktion fix, y) gemachten Voraussetzungen bei beständig wach 
senden p und q und bei Konvergenz aller ö k und e t gegen Null 
sich einer bestimmten Grenze nähert, die unabhängig ist von der 
Art der Zerlegung und der Wahl der Zwischenstellen % k , rj r 
Der Gedankengang des Beweises ist konform dem in 
218 entwickelten und soll nur in kurzen Zügen hier gegeben 
werden. 
Es bezeichne m k t den kleinsten, M k x den größten Wert 
der Funktion fix, y) in dem Teilrechtecke efgh; m den 
kleinsten, M den größten Wert der Funktion in dem ganzen 
Gebiete P. 
Der besondere Wert der Doppelsumme, welcher durch die 
Wahl von m k>l für f(S, k , rjß entsteht, heiße S x ; der aus der 
Wahl von M k t entspringende Wert sei S'. 
Ersetzt man endlich in S jedes f(£ k , g k ) durch m, so 
nimmt es den Wert (h — a)(d—c)m an, und den Wert 
(6 — a)(ß — c)M, wenn man statt f{% k , rjß jedesmal M setzt. 
Zwischen diesen verschiedenen Werten besteht die Relation 
(8) (h — a)(d — c)m < Si < S < S' < (h — a)(d — c)M, 
derzufolge jedes S schon zwischen zwei feste Grenzen ein 
geschlossen erscheint. 
Wird die Teilung von P dadurch weitergeführt, daß man 
zu den früher eingeschalteten Werten x 2k , y 2l neue hinzufügt, 
so wird die mit S x bezeichnete Summe im allgemeinen wachsen, 
C zuber, Vorlesungen II. 2. Aufl. 12