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Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
ohne den Betrag (h — a) (d — c) M jemals überschreiten zu 
können, andererseits wird die mit 8' hezeiebnete Summe ab 
nehmen, ohne unter (Jj — a)(cl — c)m herahsinken zu können. 
Beide Summen nähern sich also einander und konvergieren 
gegen eine gemeinsame Grenze, welche zugleich der Grenzwert 
der eingeschlossenen Summe S ist, weil ihre Differenz 
(9) S' - S x (M kl - m kl )d\s t 
vermöge der Stetigkeit der Funktion f{x, y) schließlich kleiner 
wird als eine beliebig klein festgesetzte positive Größe e. 
Um dies zu zeigen, sei x k /y l der Mittelpunkt des Recht 
ecks efgh; weil f(x, y) im Bereiche P stetig ist, läßt sich zu 
einem beliebig klein festgesetzten positiven A ein hinreichend 
kleines positives y bestimmen derart, daß 
I f(?, y) ~ f{x it y t ) | < A, 
solange x — x k \ <. y und y — y k | < y (45); ist also die 
Teilung von P einmal so weit gediehen, daß jedes Teilrechteck 
nach beiden Richtungen eine Ausdehnung kleiner als 2 y be 
sitzt, so ist auch 
n % yi) I <* 
i M ky j f(x k , y^) \ <C A 
und somit 
Mk, l m k, i 2 A, 
daher 
S' — S x < (?> — d){d — c) • 2 A; 
wählt man also 2 A = -r r-rj t , so wird in der Tat 
(b — d)(d — c) ’ 
S — 8j <C i, 
sobald nur alle ö k und s l kleiner geworden sind als 2 y. 
Daß der gemeinsame Grenzwert der Summen S 17 8, 8' 
unabhängig ist von der Art der Teilung des P, ergibt sich 
daraus, daß jedes S t kleiner ist als das auf dieselbe oder irgend 
eine andere Teilung gegründete 8'; der Beweis hierfür ist ganz 
analog dem in 218, 4) gegebenen zu führen. 
Man definiert nun den Grenzwert der Doppelsumme 8 als