V 
b d 
(12) fdxffix, y)dy. 
a c 
Die Wertgleichheit dieser beiden Integralausdrücke ist in 
278 nachgewiesen worden; beide bestimmen den Wert des 
Doppelintegrals (10). 
Erfolgt die Ausrechnung nach Vorschrift von (11), so 
geschieht die erste Integration bei festem y in bezug auf x, 
geometrisch gesprochen, längs einer das Integrationsgebiet 
durchsetzenden zur x-Achse parallelen Transversalen wie UV 
(Fig. 123), die zweite nach y zwischen den beiden äußersten 
Lagen dieser Transversale. Nach Vorschrift von (12) geschieht 
die erste Integration bei konstantem x, etwa längs QB, die 
zweite nach x zwischen den beiden äußersten Lagen von QB. 
Mg. 124. 
281. Beliebig begrenztes Integrationsgebiet. Es 
liegt nun nahe, den Begriff des Doppelintegrais dahin zu ver 
allgemeinern, daß man ein beliebig be 
grenztes Integrationsgebiet P (Fig. 124) 
zugrunde legt, auf welchem die Funktion 
f(x, y) endlich und stetig ist. Die In 
tegration von f(x, y) erstreckt sich dann 
auf solche Wortverbindungen xjy, wel 
chen Punkte innerhalb und am Rande 
von P entsprechen; analytisch sind derlei 
Wert Verbindungen dadurch gekennzeich 
net, daß sie einer oder mehreren Relationen von der Form 
(13) i>(x,y)^0 
genügen; so würde beispielsweise, wenn das Integrationsgebiet 
ein um 0 mit dem Radius B beschriebener Kreis wäre, diese 
Relation 
x 2 + y 2 -B 2 £ 0 
lauten, dagegen durch die drei Relationen 
x 3> 0, y^> 0, x 2 + y 2 — B 2 0 
zu ersetzen sein, wenn nur der erste Quadrant dieses Kreises 
das Integrationsgebiet darstellte. 
Am einfachsten gestaltet sich die Darstellung eines solchen 
Doppelintegrals, wenn die Randkurve C von P durch jede 
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Zweiter Teil. Integral-Rechnung.