Dritter Abschnitt. Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 181 
Transversale parallel zu einer der Koordinatenachsen nicht 
öfter als zweimal geschnitten wird. Trifft dies bei den Trans 
versalen parallel zu OY zu, so führt man die Integration nach 
y bei festem x längs der Transversale QB, also zwischen 
Grenzen durch, welche durch die Ordinaten der Punkte Q, II 
von G dargestellt und daher Funktionen von x sind, die mit 
cp t (x), ep 2 (x) bezeichnet werden mögen; die Integration dieses 
Integralwertes 
<fi (*) 
J fi x , y)dy 
fPi (*) 
in bezug auf x geschieht nun auf jener Strecke («, &), welche 
durch die parallel zu OY an C geführten Tangenten (oder 
äußersten Linien) auf der X-Achse ausgeschnitten wird, und 
liefert den endgültigen Ausdruck 
b (X) 
(14) J dxjf{x, y)dy 
a ip, (x) 
für das Doppelintegral 
(15) y)docdy. 
p 
Schneidet auch jede Transversale parallel zu OX die 
Randkurve zweimal, wie es in Fig. 124 der Fall ist, so gibt 
die Integration nach x bei festem y 
/i {y) 
J f{x, y)dx, 
/o(i/) 
wobei (i/), Xi iy) zu y gehörigen Abszissen von C sind, 
und die abschließende Integration nach y liefert 
d Xi (V) 
(16) Jdy jf{x, y)dx, 
C /0 [y) 
wobei (c, (T) das durch die zu OX parallelen Tangenten (oder 
äußersten Linien) an C begrenzte Intervall von OY bedeutet. 
Die Vergleichung der beiden Darstellungsformen (14) und 
(16) des Doppelintegrals (15) ergibt dann eine Verallgemeinerung 
des in 278 hervorgehobenen Satzes von der VertauschbarheH