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Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
der Reihenfolge der Integrationen, wobei aber zu bemerken ist, 
daß hier nicht auch wie dort die Grenzen der Integration mit 
vertauscht werden; vielmehr sind die Grenzen der erstmaligen 
Integration abhängig von der Variablen, nach welcher zum 
zweitenmal integriert wird, und nur die Grenzen der zweiten 
Integration sind feste Zahlen. 
Mit dem obigen ist zugleich die Bedeutung eines zwei 
fachen Integrals, wie es am Schlüsse von 278 in (5) erwähnt 
worden ist, näher erläutert. 
Hat das Integrationsgebiet eine solche Gestalt, daß sein 
Rand von Transversalen parallel zu den Achsen auch in mehr 
als zwei Punkten getroffen wird, so muß es in Teile zerlegt 
werden, welche den oben geforderten Bedingungen genügen; 
für jeden dieser Teile hat die Ausrechnung nach dem Schema 
(14) oder (16) für sich zu geschehen. 
Auch ein Doppeiintegral mit krummlinig begrenztem Ge 
biete kann als Grenzwert einer Doppeisumme von der Zu 
sammensetzung (7) angesehen werden. 
Umschreibt man P ein Rechteck 
(Fig. 125), zerlegt dieses in ein Netz 
von Teilrechtecken und bildet die 
Summen 8^ S, 8' über alle Teilrecht 
ecke, welche vollständig innerhalb P 
liegen, so beziehen sich diese Doppel 
summen nicht auf das ganze Gebiet 
P, sondern nur auf eine ihm ein 
geschriebene Figur mit rechtwinklig 
Fig. 125. 
gebrochenem Umfange; diese Figur ändert sich aber mit fort 
schreitender Teilung, nimmt an Größe zu, weil solche Teile, 
die bei einem früheren Stadium der Teilung fortblieben, immer 
mehr und mehr einbezogen werden, und nähert sich dem Ge 
biete P als Grenze, so daß auch der gemeinsame Grenzwert 
von S x , 8, 8' sich auf das ganze Gebiet P bezieht; dieser 
Grenzwert, nach dem in 280 entwickelten Vorgänge bestimmt, 
fällt aber genau mit dem Ausdrucke (14) oder (16) zusammen. 
282. Ge ometrische Interpretation. Eine wichtige geo 
metrische Bedeutung kommt dem über ein Gebiet P erstreckten