Dritter Abschnitt. Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 185 
Das Element 
zdxdy 
des Doppelintegrals (18) stellt, mit Vernachlässigung von 
Größen höherer als der zweiten Ordnung in bezug auf dx und 
dy, das Volumen eines prismatischen Säulchens vor, das über 
dem Elemente dxdy = efgh ruht und oben durch die krumme 
Fläche (17) begrenzt ist, mag z von welchem Punkte von efgh 
immer ausgehen. 
Das Element 
udx 
des einfachen Integrals (19) gibt, mit Vernachlässigung von 
Größen höherer Ordnung in bezug auf dx, das Volumen der 
Schichte zwischen den um dx voneinander entfernten Quer 
schnitten QRTS und Q'R'T'S'. 
283. Einführung neuer Variablen in einem Doppel 
integral. Eine weitere bedeutsame Verallgemeinerung des 
Begriffs des Doppelintegrals besteht darin, daß man neben der 
bisher geübten Teilung des Integrationsgebiets in rechteckige 
Elemente mit zu den Achsen parallelen Seiten auch andere 
Teilungen zuläßt. Das über ein Gebiet P ausgedehnte Doppel 
integral hat nämlich immer denselben Wert, wie man auch P 
teilen mag, wenn nur dafür gesorgt ist, daß sich die Gesamt 
heit der innerhalb P enthaltenen Elemente dem P als Grenze 
nähert und daß die Dimensionen jedes Elementes und nach 
allen Richtungen gegen Null konvergieren. In dieser Auf 
fassung werde das Integral mit 
p 
bezeichnet. 
Mit der soeben vorgeführten Auffassung hängt die Trans 
formation eines Doppelintegrals durch Rinführung neuer Va 
riablen eng zusammen. Dieser Prozeß aber stellt sich als ein 
wichtiges Hilfsmittel der Auswertung von Doppelintegralen dar. 
In dem Integral 
(20)