Dritter Abschnitt. Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 
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Funktionen <p, ip und bezeichnet sie kürzer nach dem Vor 
schläge Donk ins mit 
8(q>, i/>) 
d(u, v) 
Denkt man sich das neue Gebiet P' durch Gerade parallel 
zu den Achsen in rechteckige Elemente zerlegt, deren 
eines e'f'g'h' — dP' sei, so entspricht dem eine Zerlegung des 
ursprünglichen Gebiets P durch zwei Systeme im allgemeinen 
krummer Linien in Elemente dP = efgh, die bei sehr klein 
angenommenem du, dv als geradlinige Parallelogramme an 
gesehen werden können, da die Teilungslinien wegen der Stetig 
keit der Ableitungen von cp, ip ihre Richtung stetig ändern. 
Bei dem Übergang von e zu f, wobei v konstant bleibt, 
geht o(x/y) nach f und seine Koordinaten ändern sich um 
<7. x = du 
1 du 
d x y = du: 
du 7 
bei dem Übergang von e' nach 1i, wobei u konstant bleibt, 
geht e nach h und die Koordinaten ändern sich um 
d 2 x = 
O cp 
dv 
dv 
d 2 y = 
dtp 
dv 
dv- 
demnach ist das stets ebenso wie P positiv genommene dP, 
als das Doppelte des Dreiecks efh gerechnet, gleich dem ab 
soluten Betrage von 
d t x 
y 
^ du 
ö u 
d if> 
d u 
du 
d 2 x 
d 2 V 
dcp j 
ov 
d ip 
dv 
dv 
= Jdudv; 
setzt man ein für alleraal fest, daß die Differentiale der Inte 
grationsvariablen als positiv zu gelten haben, so ist 
(23) dP = Jj dudv. 
Hiernach ergibt sich als Endresultat für (20): 
(24) y)dP ==J'ip) J dudv. 
p F