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Zweiter Teil. Integral-Eechnung. 
Es ist also das vor gelegte Integral der Funktion fix, y) 
gleich dem Integrale der Funktion f(cp, ip ) J \ der neuen Va 
riablen, erstreckt über das transformierte Gebiet P' bei Teilung 
desselben in Elemente dudv. 
Die Grenzen der einzelnen Integrationen sind aus der 
Randkurve C' ebenso zu bestimmen, wie dies in 281 für C 
erklärt worden ist. 
Der ganze Vorgang läßt aber noch eine andere Auffassung 
zu, wenn man u, v nicht wieder als neue rechtwinklige Koor 
dinaten, sondern als Parameter ansieht, durch welche x, y aus 
gedrückt werden. 
Während v konstant bleibt, beschreibt der Punkt x/y eine 
Kurve (v), und während u konstant bleibt, beschreibt xjy eine 
Kurve (u); der Punkt x/y = e selbst erscheint als Schnittpunkt 
dieser Kurven, und deshalb nennt man u, v krummlinige Koor 
dinaten des Punktes e. Mit andern Worten: den früheren 
Teilungslinien von P f entsprechen zwei Systeme krummliniger 
Teilungslinien von P, und das durch vier solche Linien, je 
zwei aus jedem Systeme, begrenzte Element von P ist durch 
J | dudv gegeben. 
Legt man diese Auffassung zugrunde, so wird die Funk 
tion if) der neuen Variablen wieder auf dem Gebiete P 
integriert, wobei j J\ dudv das Element desselben ist; die Grenz 
zen sind der geometrischen Bedeutung der Parameter u, v ent 
sprechend zu bestimmen. 
284. Beispiele. 1) Ist in einem Doppelintegral die zu 
integrierende Funktion f(x,y) = 1, so stellt es, dem Begriff 
gemäß, die Größe des Integrationsgebiets P dar. 
Von dieser Bemerkung ausgehend soll die Größe der von 
der Ellipse 
{a x x + \yf + {a^x + b 2 yf = k? 
(25) 
umschlossenen Fläche bestimmt werden. Zu diesem Ende hat 
man das über diese Fläche P erstreckte Integral 
(26) 
p 
auszuwerten.