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Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
Fig. 130. 
In ähnlicher Weise wird ein über ein unendliches Gebiet 
sich erstreckendes Doppelintegral durch den Grenzwert eines 
über ein endliches Gebiet sich ausdehnenden 
Integrals definiert, wenn dieses Gebiet be- 
~ x ständig sich erweiternd in das unendliche 
Gebiet übergeht, vorausgesetzt wieder, daß 
ein solcher Grenzwert wirklich existiert. 
Beispiele. 1) Für das über das Recht 
eck OC (Fig. 130) ausgedehnte Integral der 
Funktion fxy (x 7 y) ergibt sich nach den 
Ausführungen in 278 der folgende Wert: 
O o 
a h 
fjfxyipc, y)dxdy = I*cIxJf" y (x; y)dy 
‘(OU) 0 0 
= f(a f 6) — fifl, 0) - f{0; h) + f{0; 0); 
in gleicher Weise ist 
JJfxy(x, y)dxdy = /■(«, ß) ~ f(cc, 0) — f{0; ß) + /'(0; 0); 
(OT) 
das über das hexagonale Gebiet P erstreckte Integral ist der 
Unterschied beider 
y) = /'(“> 6 ) — f("> 0) — /-(0, b) - /Ta, (3) 
p + f(«, 0) + /(0, ß). 
Von dieser letzteren Formel kann in dem Falle Gebrauch 
gemacht werden, wenn fx y (x, y) bei Annäherung an die Stelle 
0/0 unendlich wird, ohne sonst Unstetigkeit zu zeigen; nur 
wenn der rechtstehende Ausdruck für beliebige Grenzübergänge 
lim a = 0, lim ß = -\-0 einer bestimmten Grenze sich nähert, 
hat das Integral über (OC) unter den bemerkten Umständen 
einen bestimmten Wert. 
Ein solcher Fall entsteht, wenn 
f{x, y) = arctg ~ > 
weil dann 
f" ( x v \ = y*r x \ 
für lim x = 0, lim y = 0 unendlich wird; hier ist nun