Dritter Abschnitt. Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 195 
CC 
J e~ x 'dx = Yjt 
— GC 
ist (277, 4)) und 278 , 4)). 
§ 6. Drei- und mehrfache Integrale. 
286. Das dreifache Integral. Wenn man auf eine 
Funktion der Variablen f{x, y, z) zuerst Integration in bezug 
auf z allein zwischen festen oder von x, y abhängigen Grenzen, 
auf das Resultat Integration in bezug auf y zwischen festen 
oder von x abhängigen Grenzen ausübt und das neue Resultat 
schließlich nach x zwischen festen Grenzen integriert, so heißt 
das so entstandene Gebilde ein bestimmtes dreifaches Integral 
jener Punktion. Selbstverständlich ist der Begriff nicht an 
die Reihenfolge der Variablen gebunden. 
Wichtiger als diese formale Entstehung ist die Bedeutung 
des Integrals als Grenzwert einer dreifachen Summe. 
Ist nämlich die gegebene Funktion fix, y, z) für alle 
Werte der Variablen, welche die Bedingungen: 
ia x ^ h 
(30) , j c <; y <; d 
\g<z <ih 
erfüllen, also auf einem Gebiete 11, das geometrisch durch ein 
Parallelepiped mit zu den Koordinatenachsen parallelen Kanten 
dargestellt ist, eindeutig und stetig, so konvergiert die mit 
den arithmetisch geordneten Werten 
a = Xq, (xf), x 2 , {xf), X±, . . . Xv p _2, (^2j3-l); ~ b 
c = Wi), y27 0y3)7 yiy-Viq-*, (3h s -i), y% q *=d 
t) = ^07 (^l)? ^27 (^3)7 ^47 • • • ^2 r — 2 7 (^2r-l)> ^2r == ^ 
gebildete dreifache Summe 
(31) 
in welcher