198 
Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
deren Dichtigkeit*) am Punkte x/y/z gleich f(x, y, z) ist, so 
drückt das Integral die Größe der den Raum R einnehmenden 
Masse aus. 
287. Einführung neuer Variablen in einem drei 
fachen Integral. An die Stelle der Teilung des Raumes R 
in Parallelepipeda mit zu den Achsen parallelen Kanten kann 
jede andere gesetzt werden, wenn nur bei fortgesetzter Teilung 
alle Ausdehnungen eines jeden Elementes dR gegen Null kon 
vergieren. Wir drücken dies dadurch aus, daß wir für (32) 
das allgemeine Zeichen 
(36) 
R 
setzen. 
Auf dieses Integral soll nun die eiu-eindeutige kontinuier 
liche Transformation der Variablen 
X = Cp(u, V, w) 
y = i>(u, V, w) 
(37) 
* = v, w) 
ausgeüht werden. Wie in 283 überzeugt man sich, daß die 
Eindeutigkeit und Stetigkeit erfordert, daß die Fuuktional- 
oder Jacobische Determinante 
dcp 8y dcp 
du dv dw 
dtp d'ip dtp _ d(qp, ip, x) 
du dv dw d(u, v, w) 
dx fx fx_ 
du dv dw 
der Funktionen (p, t, % an keiner Stelle des transformierten 
Gebietes R 1 verschwinde, also durchwegs ein und dasselbe 
Vorzeichen beibehalte. 
Für das neue Gebiet R x soll die Teilung in parallelepipe- 
dische Elemente dR x = a 1 ß 1 y 1 d 1 (Fig. 133, s. S. 199) aufrecht 
erhalten bleiben. Einem solchen entspricht in dem ursprüng 
lichen Raume R ein Element dR = aß yd von anderer Form, 
*) D. i. der Grenzwert des Verhältnisses eines den Punkt nicht 
ausschließenden Teiles der Masse zu seinem Volumen, wenn sich dieses 
letztere, allseitig sich zusammenziehend, der Null nähert.