200 
Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
hält man also an der Festsetzung, daß die Differentiale der 
Variablen positiv seien, so gilt die Formel: 
dR — 1 J | dudvdw, 
(38) 
und weiter 
Die Grenzen der einzelnen Integrationen sind aus der Be 
grenzung von R t nach dem im vorigen Artikel erklärten Vor 
gänge abzuleiten. 
Den rechtsseitigen Ausdruck kann man ebensowohl als 
Integration der Funktion f(cp, tl>, %) \ J \ über den Raum R i 
mit dem Elemente dudvdw, wie auch als Integration der 
Funktion /‘(<p, il>, %) über den Raum R mit dem Elemente 
| J | dudvdw auffassen; im letzteren Falle gelten u, v, w als 
Parameter und entsprechen den drei Systemen orthogonaler 
Ebenen, welche den Raum R i eingeteilt haben, drei Systeme 
von krummen Flächen (u) } {v), (w), welche R in die neuen 
Elemente zerlegen. 
Beispiele. 1) Das Integral 
SSS**> 
R 
ausgedehnt über den Raum des Ellipsoids 
(a t x + b 1 y + e i s)* + (u 2 x 4 \y 4 c 2 z) 2 4 {a 3 x 4 \y + c 3 zf = A 2 , 
gibt die Größe dieses Raumes selbst. 
Um sie zu bestimmen, wenden wir die projektive Trans 
formation 
a t x -f b-^y 4 c x z = u 
a 2 x + b 2 y -f c 2 z = v 
a a x -f b 3 y 4 c 3 z = w 
an, vermöge welcher das Ellipsoid in die Kugel 
u 2 4 v 2 4 w 2 = A 2 
verwandelt wird. Setzt man 
D = a 2 b 2 c 2 
® 3 b 3 c 3