202 Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
Ans der Jacobischen Determinante 
sinÖcosqp, r cos 6 cos cp, —rsinösinqp 
J= sin 0 sin cp, rcosösinqp, r sin 6 cos cp 
cos 0 —rsinö, 0 
- r 2 sin 6 
Mg. 134. 
ergibt sich das dieser Transformation entsprechende Raum 
element 
(41) dR = r 2 sin 6 drdd dtp] 
da die Flächen mit konstantem r Kugeln um 0, die Flächen 
mit konstantem 6 Kreiskegel mit 
der Spitze 0 und der Achse OZ, 
endlich die Flächen mit konstan 
tem cp Ebenen durch die Z- Achse 
sind, so drückt dB (bis auf Größen 
höherer als der dritten Ordnung) 
x einen von zwei Kugeln, zwei Kegeln 
und zwei Ebenen begrenzten Körper 
(Fig. 184) aus. 
Hiernach ist schließlich 
(42) 
SSI 
f(x, y, z)dxdydz 
— (fjf( r sin 6 cos cp, r sin 6 sin cp, r cos 6) r 2 sin 6 dr d 6 d cp] 
die Grenzen der Integration müssen der Begrenzung von R 
angepaßt werden. 
288. Das n-fache Integral. Es unterliegt keiner 
Schwierigkeit, die Begriffsbildung, aus welcher das doppelte 
und das dreifache Integral hervorgegangen sind, auf eine 
Funktion von mehr als drei, allgemein von n Variablen aus 
zudehnen. 
Ist f(cc x , x 2 , . . ., x n ) eine solche Funktion und integriert 
man sie sukzessive nach den n Variablen in einer festgesetzten 
Reihenfolge, wobei die Grenzen einer Integration entweder 
feste Werte oder aber Funktionen derjenigen Variablen sind, 
nach welchen noch nicht integriert worden ist, so entsteht