Dritter Abschnitt. Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 203 
ein n-faches bestimmtes Integral jener Funktion, das bei der 
Reihenfolge & n , x n _ t , . . ., x x unter Beifügung der Grenzen zu 
schreiben wäre 
(43) 
Ein solches Integral entsteht aber auch als Grenzwert 
einer n - fachen Summe von dem Baue 
welche sich auf solche Wortverbindungen der Variablen be 
zieht, die einer oder mehreren Bedingungen der Form 
F{x r , x 2 , ..xj £ 0 
(45) 
genügen, für gegen Null abnehmende Ax t , Ax 2 , . .Ax n . 
Die Ausdrucksweise der früheren Fälle beibehalteud nennt 
man diesen Grenzwert das über den n- dimensionalen Raum 
K, der durch (45) gekennzeichnet ist, ausgedehnte «-fache 
Integral und gebraucht dafür das Symbol 
A 
Auch die Ausführung einer ein-eindeutigen Transformation 
x t = cp t (u ly « 2 , . . ., u n ) 
X 2 — (p-2 (u^, U 2J . . ., W w ) 
(47) 
%'n *Pn^ U 1? W 2> * • V U ti) 
auf (46) führt zu einem ähnlichen Resultate wie bei zwei und 
drei Variablen, indem (46) sich verwandelt in 
. . ., qpj| J\du 1 du 2 ...du n , 
(48) 
K 
wobei K jenes Gebiet ist, das aus (45) durch die Substitution 
(47) hervorgeht, und J die Jacobische Determinante der 
Funktionen cp 1 , cp 2 , . . ., cp n bedeutet, also 
drp 1 gqp t _ _ _ df?! 
du x 7 c u^’ 7 d u n 
J = 
8cp„ d%, 
(48)