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Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
§ 7. Analytische Anwendungen. 
289. Die Eulerschen Integrale. Zu den Funktionen, 
welche durch Integrale definiert werden, gehören auch die Beta- 
und die Gammafunktionen, so genannt nach den Buchstaben, 
die zu ihrer Bezeichnung verwendet worden sind. Die Beta- 
fnnktion, eine Funktion zweier Argumente, ist ausgedrückt 
durch 
i 
(1) 
o 
die Gammafunktion, nur von einem Argument abhängig, durch 
CO 
0 
Die rechtsstehenden Integrale heißen das Eulersche Integral 
erster, bzw. zweiter Gattung. Beide Definitionen gelten aus 
Gründen, die in § 2 entwickelt worden sind, nur mit gewissen 
Einschränkungen: es müssen p, q, a positiv sein. 
Für ganzzahlige p, q, a sind die Integrale bereits 261, 5) 
und 269, 2) ausgewertet worden und es ergab sich dann für 
das zweite Integral eine Fakultät, nämlich (a — 1)!*), für das 
erste Integral ein aus Fakultäten zusammengesetzter Ausdruck, 
Cp—i)! (g—i)i 
(p + a — i)! 
Gerade dieser Zusammenhang mit den 
nämlich 
Fakultäten war es, der Euler zur Aufstellung und Unter 
suchung dieser Integrale geführt hatte und der ihre große 
Wichtigkeit begründet. 
Außer den Definitionsformen (1), (2) gibt es noch andere, 
und da für die Zwecke der Untersuchung bald die eine, bald 
die andere sich als vorteilhafter erweist, so mögen einige gleich 
angeführt werden. 
Setzt man in (1) x = --■* , so wird 1 — x = und 
*) Das Gaußsche Zeichen für F(a) ist U(«—1) und paßt sich 
diesem speziellen Falle an.