Dritter Abschnitt. Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 205 
(3) 
zerlegt man letzteres Integral in zwei mit den Integrations 
intervallen (0, 1), (1, oo) und führt im zweiten statt t als 
Variable ein, so ergibt sich 
(b JCp,g) -/.a-f 
und diese Form läßt die Symmetrie von B{p, q) in bezug auf 
die beiden Argumente unmittelbar erkennen; es ist also 
(5) B(p, q) = B{q, p). 
Die Substitution x = sin 2 cp verwandelt (1) in 
71 
2 
(6) B(p, q) = 2 J*sm 2p ~ x cp cos 22_1 qp dcp. 
o 
Durch die Substitution e~ x — z geht (2) über in 
und dies ist die Form, in der Euler das Integral zuerst auf 
gestellt hat. 
Von den beiden Integralen hat indessen nur das zweite 
einen selbständigen Charakter, indem sich das erste durch In 
tegrale zweiter Gattung ausdrücken läßt. Um das zu zeigen, 
werde in (2) x durch kx(li > 0) ersetzt; es ergibt sich da 
durch die Formel 
GC 
(8) r(d) = k a J*e~ kx x a ~ x dx 
o 
und aus dieser 
cc 
'W == Y(d)f t e~ kx x a - x dx\ 
0 
schreibt man hierin 1 -f t für k, p -f q für a, multipliziert 
beiderseits mit t p ~ x und integriert hierauf von 0 bis oo, so 
erhält man mit Rücksicht auf (3)