Dritter Abschnitt. Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 215 
IF{ 1 +a)-ir( 1 - a) 
= 2a(l -y)-l - -3- (s 3 - 1) - -5- (s 5 - 1) 
nun ist aber wegen (11) und (16) 
IT( 1 + a ) + ir{ 1 - a) = ZaF(a)r(l -a) = l~ 
durch additive Verbindung dieser zwei Ansätze erhält man 
schließlich die sehr rasch konvergierende Reihe Legendres: 
l T(1 4- a) = ,l~ 
\ / qir 
1 y 1 —d 
Y 1 1 — a 
(23) + a(l - y)-%- (* ~ 1)-T («5 ~ 1) “ 
292. Fouriersche Reihen. Aus der Funktion sin x, 
welche die Periode 2it, die Amplitude 2 und den Anfangswert 0 
(für x = 0) besitzt, kann man Funktionen erzeugen mit be 
liebig kleiner Periode, beliebiger Amplitude und beliebigem 
Anfangswert. Denn die Funktion A sin (nx + cc), in welcher 
2 7t 
n eine ganze Zahl bedeuten möge, hat die Periode —, die 
Amplitude 2 A und den Anfangswert A sin cc, die alle durch 
entsprechende Wahl von n, A und a nach Belieben reguliert 
werden können. 
Eine änliche Betrachtung kann bezüglich der Funktion 
cos x angestellt werden, die sich von der vorigen im Anfangs 
wert unterscheidet. 
Nun ist aber As\n.(iix -j- a) = A cos a sin nx-\- Al sin a cos nx\ 
es läßt sich also die Funktion A sin(%# + cc) auch durch Sum 
mation der beiden Funktionen JB sin nx, C cos nx hersteilen, 
wenn B = A cos cc, C = A sin a genommen wird. 
Aus dem Umstande, daß bei diesen beiden Funktionen 
durch Wahl von n ein beliebig rascher Zeichenwechsel und 
durch Wahl der Koeffizienten beliebig große und beliebig kleine 
Amplituden erzielt werden können, erklärt sich die Tatsache, 
daß durch Addition mehrerer Ausdrücke dieser Zusammensetzung 
Funktionen des mannigfachsten Verlaufs erzeugt werden können, 
geometrisch gesprochen: daß man durch Superposition von in 
dem letztgedachten Sinne verallgemeinerten Sinus- und Kosinus 
linien die mannigfachsten Kurven hersteilen kann.