Dritter Abschnitt. Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 219 
Ist fix) statt in dem Intervall (0, 2ic) in dem beliebigen 
Intervall (0, c) zu entwickeln, so gilt nach einer oben gemach 
ten Bemerkung der Ansatz: 
(10) 
f( x ) = yJf{x)dx + |2 !c °s^j fix) 
n ln 
2 n n x 7 
cos dx 
c 
2 . 2 nnx \ . 
-j 2j sm ~r“J /w 81 
2 n n X ^ 
sm dx. 
c 
Der andere der oben erwähnten Fälle, daß nämlich die 
Funktion f{x) in dem Intervall (—7t, 7t) bzw. (—c, c) gegeben 
ist, findet seine Erledigung auf Grund der vorausgeschickten 
Bemerkungen ohne weiteres; es wird jetzt 
71 7t 
h n = ~ x) cos nxdx, a n = ~r J* f i x ) s i n nx dx i 
— 71 —71 
die erste Formel auch für n — 0 gültig, so daß nunmehr 
7t oo 71 
fi x ) = 2n fW dx + ~ cos nx j*'fix) cos nx dx 
— 71 1 — Ti 
CC 7t 
-j-— ^sin nx if(x) sin nxdx, 
i 
— 71 
C GC C 
f( x ) = ¿7 Jf( x ) dx + ^2 cos n ^Jf( x ) 
(11) 
bzw. 
nnx 7 
cos dx 
c 
(12) 
CC C 
, 1 \1 . nnx N . nnx 7 
+ c sm - cj f(. x ) sm — dx - 
Diese letzten Formeln lassen eine bemerkenswerte Spezia 
lisierung zu. 
Ist nämlich fix) eine gerade Funktion, so kann sowohl in 
dem Einzelglied auf der rechten Seite, als auch in der ersten 
Summe, da der Kosinus ebenfalls eine gerade Funktion, das 
Integrationsintervall auf die Hälfte reduziert werden, während 
die zweite Summe, da der Sinus ungerade ist, entfällt; man 
hat also in diesem Falle die Formeln: 
Asfehi