Dritter Abschnitt. Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 221 
c 2 
% . 2 nnx n 7 / . 2nnx -, 
f(x) sin —-— dx = k j sm —-— dx 
ck 
2 nn \ 
COS 
2 nnx\ 
0 für n gerad 
n ungerad. 
,_C_ nn ” ° 
2 
Es gilt also für die so definierte Funktion der Ansatz: 
. . .1. 
J 
,,, N & , 2 7c f 2*® . 1 . 6nx , 1 . 10 nx 
/( 1 )-i + 7 sm T + T im T+5 Bm ~r- 
Maai überzeugt sieb leicht, daß [ { ^ j = / ( Y ) “ , f ist, wie 
es der Definition entspricht; man braucht nur an die bekannte 
- r 
r -f- -v— • • • zu denken. Dagegen gibt die 
Reihe -7-=! 7- -f 
4 00 
Reihe für x = 0, , c den außer der Definition liegenden 
Wert |. 
Außerhalb des Intervalls (0, c) führt die Reihe zu einer perio 
dischen Wiederholung des näm 
lichen Wertevorrats (Fig. 135). ,Flg - 13:> - 
2) Die Funktion f(x) habe l | I 
in dem Intervall (0, c) beständig " 0 £ c 3p X 
den Wert k. 
Wählt man zu ihrer Darstellung die Formel (16), so er 
gibt sich, da 
\ . nnx 7 k c i 
^) sm c äx = ir, \ 
COS 
\ (0 für n gerad 
nnx [ ) 
= 12 kc 
„ n ungerad, 
der für alle 0 < x < c geltende Ansatz: 
7 4k ( . nx . 1 . 3nx . 1 . 5nx . \ 
k = — sm \- — sm k -7- sm k • • •}; 
n [ c 3 c 5 c j 7 
somit ist, solange 0 < x < 7t, c 
= sin x 4- -r- sin 3 x 4- -r- sin 5 x -(-•••. 
4 00 
An den Grenzen des Intervalls nimmt jede der Reihen 
den Wert 0 an.