Vierter Abschnitt. Anwendungen der Integral-Rechnung. 309 
raerkung, daß man von dieser Funktion nur die Werte an den 
Intenrationsgrenzen, also an den Grenzen des Integrations- 
00/ o 
gebiets zu kennen braucht. 
Dieser Gedanke hat eine bedeutsame Fortbildung erfahren 
bei Integralen, die sich über ein zweifach ausgedehntes Gebiet 
(ebene oder krumme Fläche) und über ein dreifach ausgedehntes 
Gebiet (Körper) erstrecken. Die darauf bezüglichen Formeln 
und Sätze haben für einzelne Teile der Physik, so insbesondere 
für die Theorie der Elektrizität und des Magnetismus große 
Bedeutung erlangt. 
Es sei P ein zusammenhängendes Gebiet in der a;?/-Ebene, 
X eine in seinem Innern und am Rande s eindeutige und 
stetige Funktion von x, y\ dieselben Eigenschaften sollen auch 
ihrem Differentialquotienten zukommen. Dann existiert das 
Doppelintegral 
(1) Jß-^dxdy 
r 
und läßt sich in folgender Weise in ein einfaches Integral 
um wandeln. 
Führt man die Integration in bezug auf x aus, so wird 
aus (1) 
ß-X 1 + X 1 )dy, 
wenn X 1} X 2 die Werte von X an den Stellen M v M 2 (Fig. 167) 
sind, an welchen die im positiven Sinne durchlaufene Gerade (x) 
in das Gebiet P ein-, beziehungs 
weise aus ihm austritt. Fig. m. 
Zieht man an diesen Stellen 
die „inneren“ Normalen n v n 2 zum 
Rande s, und bezeichnet mit ds v 
ds 2 die dem dy entsprechenden 
Bogendifferentiale von s bei M v M 2 , 
so ist 
dy = ds 1 cos (n x x) = 
ds 2 cos (n. 2 x), 
weil der Winkel (n x x) der Normale n t mit der positiven 
x-Richtung spitz, jener (n 2 x) stumpf ist. Infolgedessen kann