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Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
das Element unter dem letzten Integral 
— (X x cos {n t x) ds 1 -f X 2 cos {n 2 x) ds 2 ) 
und das Integral selbst 
(2) — f Xcos (nx)ds 
i 
geschrieben werden, wobei das dem Integralzeichen beigefügte s 
anzeigt, daß die Integration über alle Elemente von s, also 
über den ganzen Rand s zu erstrecken ist. Ein solches Inte 
gral bezeichnet man als Linien- (Rand-)Integral. 
dY 
Erfüllt die Funktion Y mit ihrer Ableitung ebenfalls 
0 dy 
die oben formulierten Bedingungen, so findet man ebenso 
(3) ffw dxdv ~~ 
P s 
Durch Vereinigung beider Integrale ergibt sich, wenn 
man gleichzeitig für dxdy das allgemeine Zeichen dP setzt, 
die Formel: 
(I) fj'(— + |D dP = —J{X cos (nx) + Ycos {ny)) ds. 
P s 
Durch sie erscheint das Flächenintegral links in ein 
Linienintegral umgewandelt, und während zur Ausführung des 
ersten die Kenntnis von 4- auf dem ganzen Gebiet P 
ox vy 0 
erforderlich ist, bedarf es zur Ausführung des zweiten der 
Kenntnis von X, Y nur auf dem Rande von P. 
Hätte das Gebiet P außer dem äußeren Rand s noch ein 
oder mehrere Innenränder, wäre es beispielsweise, um an den 
einfachsten Fall zu denken, ringförmig mit dem Innenrand s v 
so käme auf der rechten Seite noch ein gleichgestaltetes, über 
s 1 erstrecktes Integral hinzu, und zwar entweder mit dem 
Zeichen -)-, wenn man festsetzte, daß beide Ränder in gleichem 
Sinne beschrieben werden, oder mit dem Zeichen —, wenn 
der innere Rand im entgegengesetzten Sinne zu s durchlaufen 
würde. 
Denkt man sich an Stelle des ebenen Gebiets ein räum 
liches, von einer Fläche S umschlossenes Gebiet P, und drei 
in demselben mit Einschluß der Begrenzung eindeutig ge 
J 
Y cos (ny)ds.