Vierter Abschnitt. Anwendungen der Integral-Rechnung. 313 
~J u (S C0s ( waj ) + C0S (**y)) ds 'i 
s 
da aber der Differentialqnotient von V in der Richtung der 
inneren Normale nach 47, (7) 
cv dv ( . . dv , N 
5— = ö— cos inx) + X— cos (ny) 
on ox v ' oy \ 
ist, so kann kürzer 
geschrieben werden. 
Mithin ist 
- f ü^ds 
J dn 
mff(S S + % £)«■ - -/<* -//W«, 
P s P 
und ebenso, da man U und V vertauschen darf, ohne an dem 
linksstehenden Integral etwas zu ändern: 
w/M £+f fZP - -/ r fn ds -Jfr^UäP. 
Durch diese Formeln ist das vorgelegte Flächenintegral (4) 
in ein Linienintegral und in ein anderes Flächenintegral um 
gewandelt. Erfüllt jedoch, wie es bei gewissen Anwendungen 
dieser Formeln der Fall, die Funktion V, beziehungsweise ü 
die Bedingungsgleichung: 
(5) 
. dw . a 2 F n 
z/ g ' = — -f- ~—9 = 0 . 
J cx~ cy 7 
* TTT ö “ XJ . 
4 u =tt+W'~ °> 
so verbleibt bloß das Linienintegral, indem nun 
(V) 
-/ 
V~ds. 
cn 
Zeichen, so z/F, — V 3 Fu. a. im Gebrauch sind. Auch wird vielfach 
statt der inneren Normale die äußere genommen, wodurch sich die 
Vorzeichen anders gestalten. — Das oben benutzte Zeichen zi, F stammt 
von Lame.