Vierter Abschnitt. Anwendungen der Integral-Rechnung. 325 
folglich ist 
p l 2 sin0 dldd dcp 
yi 2 sin 2 cc -f- {x — x — l cos a) 
Dieses Integral ist nun kein uneigentliches mehr, weil die 
Funktion unter dem Integralzeichen für die an P und an P' 
unendlich nahen Punkte nicht unendlich wird. Es darf daher 
die Differentiation nach x unter dem Integralzeichen ausgeführt 
werden, wodurch erhalten wird: 
tc — x — l cos a) sin0 dldd dcp 
dV / 
{ yi 2 sin 2 « -f- {oc — X — l cosa) 2 } 8 ’ 
dV 
- x in über, und weil dabei l mit r 
r) r. 7 
cx J {yi 2 si: 
dies geht aber für x = x in 
zusammenfällt, so ist 
q sin 6 cos a drdd dcp. 
Andererseits war der ursprüngliche Ausdruck für die Kompo 
nente X: 
derselbe geht durch Transformation in Polarkoordinaten, wenn 
OC • • 
man beachtet, daß “ = cos a ist, über m 
X — — / q sin 6 cos a dr dO dcp 
somit ist auch ietzt 
v cV 
X= — -K—, usw. 
0 X 7 
Wenn man die Transformation (7) auf die Integrale (5) 
fisy fiiy fisy 
dx 2 ’ dy 2 7 dz 2 
ausdrücken, so bleiben diese 
anwendet, welche 
für einen Aufpunkt im Innern auch nach der Transformation 
uneigentliche Integrale; denn es wird beispielsweise 
ß 
— 1 -f- 3 sin 2 0 cos 8 qp 
r 
sin 0 dr dd dcp. 
Dieses singuläre Verhalten wird alsbald an einem besonderen 
Falle Aufklärung finden. 
319. Potential und Anziehung einer Kugelschale 
und einer Yollkugel. Zur Illustration der bisherigen Unter-