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Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
321. Die Poissonsche Gleichung. Anknüpfend an die 
letzte Formel sollen die zweiten Ableitungen von V für einen 
Punkt im Innern der homogenen Kugel bestimmt werden. 
Macht man den Mittelpunkt der Kugel zum Ursprünge, wäh 
rend der Aufpuukt eine beliebige Lage gegen das Koordinaten 
system hat, so ist 
l 2 = x- + y 2 + z 2 
und 
V= (a 2 - —+1*-+-^. 
Daraus folgt 
cV_ 
Anox 
cV _ 
4 ngy 
cV_ 
4 7t Q Z 
d x 
3 ’ 
cy 
3 f 
dz 
3 
d 2 'V 
4 Ä Q 
c 2 V _ 
4 % Q 
d 2 v _ 
4 % Q , 
dx* = 
—, 
cy 2 
dz s ~~ 
— 3 ’ 
es haben also die zweiten Differentialquotienten bestimmte 
Werte und ihre Summe ist 
(20) 
dx* ' dy* ' c z* 
— — 4 % Q 
im Gegensätze zur Laplaceschen Gleichung (6), welche für 
einen äußern Punkt hei beliebiger anziehender Masse ge 
golten hat. 
Die Gleichung (20), nach ihrem Urheber die Poissonsche 
Gleichung genannt, gilt mit entsprechender Deutung und Ein 
schränkung für jeden beliebigen Körper. 
Es sei ein beliebiger nicht homogener Körper und inner 
halb desselben ein Aufpunkt P gegeben; dem Ganzen liege 
ein rechtwinkliges Koordinatensystem zu Grunde. Unter der 
Voraussetzung, daß die Dichtigkeit in der Umgebung von P 
keine Unstetigkeit erleidet, kann man sich eine so kleine den 
Punkt P einschließende Kugel ausgeschieden denken, daß inner 
halb derselben die Masse als homogen und mit der am Punkte 
P herrschenden Dichtigkeit p begabt angesehen werden kann. 
Heißt ni 2 die Masse dieser Kugel, m 1 die übrige, m die ganze 
Masse, so gilt für die Potentiale U 2 , V 1 , V die Gleichung: 
+ F 2 , 
daher auch