Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
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Umgekehrt, ist ein einfach unendliches Kurvensystem durch 
die Gleichung 
(3) 
<&{x, y, a) — 0 
mit dem veränderlichen Parameter a gegeben, so existiert eine 
Differentialgleichung erster Ordnung, welche dem Systeme 
entspricht. Sie wird dadurch erhalten, daß man aus (3) durch 
Differentiation in bezug auf x die weitere Gleichung 
ableitet und zwischen beiden den Parameter a eliminiert; das 
Resultat dieser Elimination, von der allgemeinen Form 
<p(x,y,y') = 0 
ist die besagte Differentialgleichung. Sie drückt die Beziehung 
aus, welcher alle Linienelemente des Kurvensystems (3) Genüge 
leisten, und heißt die Differentialgleichung dieses Kurvensystems. 
Daraus ergibt sich die wichtige Tatsache, daß ein einfach 
unendliches Kurvensystem analytisch in zweifacher Weise charak 
terisiert werden kann: durch eine endliche Gleichung zwischen 
zwei Variablen und einem veränderlichen Parameter und durch 
eine Differentialgleichung erster Ordnung mit denselben zwei 
Variablen. 
327. Aufgaben über Kurvensysteme. Bei Lösung 
von Aufgaben, welche Kurvensysteme betreffen, wird bald von 
der endlichen, bald von der Differentialgleichung mit Vorteil 
Gebrauch zu machen sein. Zur Illustration mögen die folgenden 
Beispiele dienen. 
Beispiel 1. Durch die Gleichungen 
y — b = m(x — a) 
y — V — m{x — a), 
wenn darin m, m als veränderliche Parameter gelten, sind 
zwei Strahlenbüschel mit den Mittelpunkten a/b, ajb' be 
stimmt. Besteht zwischen den Parametern die in bezug auf 
beide lineare (oder bilineare) Gleichung 
amm -(- ßm + ym -f- d = 0, 
so sind dadurch die Strahlen beider Büschel in gegenseitig