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Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
sich dabei die Gleichung (10) in eine gleichartig gebaute mit 
den Variablen x v y v nämlich in 
(12) T(x 1 ,y 1 ,C 1 ) = 0, 
so bedeutet dies, daß durch die Transformation (11) jede Kurve 
von (10) in eine bestimmte andere desselben Systems ver 
wandelt worden ist; es wird im allgemeinen C l eine Funktion 
von C und a sein. Wir wollen dann sagen, das Kurvensystem 
(10) gehe bei der Transformation (11) in sich selbst über oder 
bleibe invariant. 
Ist 
(13) f(x, y, y) = 0 ' 
die zu (10) gehörige Differentialgleichung, so kann die zu 
(12) gehörige auf zweifache Weise gewonnen werden; einmal 
durch Anwendung der Transformation (11) auf (13), oder aber 
durch Differentiation von (12) nach x i und Elimination von C t j 
da aber (12) mit (10) bis auf die Bezeichnungen völlig über 
einstimmt, so wird auch die neue Differentialgleichung mit 
jener (13) übereinstimmen, also lauten müssen 
( 14 ) ffa, Vv Vi) = 0. 
Es ändert hiernach eine Transformation, welche ein Kurven 
system invariant läßt, auch die Form seiner Differentialgleichung 
nicht oder läßt auch diese invariant. 
Gelingt es also, zu einer gegebenen Differentialgleichung 
eine Transformation zu finden, bei welcher sie invariant bleibt, 
so führt diese selbe Transformation auch das System der In 
tegralkurven in sich selbst über. Wie daraus 
auf die Form dieses Integrals geschlossen 
werden kann, werden die folgenden Bei 
spiele zeigen. 
Beispiel 1. Die Differentialgleichung 
(!5) f{x, y) = 0, 
in welcher y explizit nicht vorkommt, 
definiert ein System von Linienelementen 
von solcher Beschaffenheit, daß die Punkte paralleler Elemente 
auf Geraden parallel der y- Achse liegen (Fig. 176). 
Fig. 176.