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Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
gleichung einen integrierenden Faktor zu bestimmen, ist in 
der Regel ein schwierigeres Problem als die Integration der 
Gleichung selbst. Dem Art. 333 zufolge hat nämlich der 
integrierende Faktor der Bedingung 
d(fiM) = d(uN) 
dy dx 
also der partiellen Differentialgleichung 
zu genügen; und die Lösung einer solchen führt, wie an 
späterer Stelle (379) gezeigt werden wird, auf zwei gewöhn 
liche Differentialgleichungen zurück. 
336. Beispiele. 1) Die Differentialgleichung 
ydx — xdy = 0 
ist nicht exakt; es ist aber leicht, integrierende Faktoren 
für sie anzugeben. Ein solcher ist schon —, weil er die 
xy 
Trennung der Variablen bewerkstelligt und die linke Seite in 
1 
l 
das Differential von l x verwandelt; aber auch 
V ’ 
und 
sind 
V 
x 
integrierende Faktoren, weil sie die linke Seite in das Differential 
von —, bzw. von — — verwandeln. 
1! 7 W 
y 7 x 
Jede zwei der drei Faktoren 
ill 
xy J y 2? X i 
geben zum Quotienten eine Funktion von weshalb 
das allgemeine Integral jener Gleichung in seiner einfachsten 
Form ist. 
Multiplikators, weil er die zugrunde liegende Idee am eingehendsten 
verfolgt hat (1760). Doch findet sich eine Andeutung davon schon bei 
Johann Bernoulli, und A. Clairaut hat (1739) von dem Verfahren 
in bewußter Weise Gebrauch gemacht.