Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
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2) Auch die Differentialgleichung 
(y — x) dy + y dx = 0 
ist nicht exakt; sondert man von dem exakten Teile ydy den 
nicht exakten ydx — xdy ab, so kann für diesen allein jeder 
der vorhin angegebenen Faktoren verwendet werden; 
xy x y 
für die ganze Gleichung aber nur der letzte, weil er von y 
allein abhängt; er verwandelt die linke Seite in das Differential 
von l y -f- — mithin ist 
J y 
h + j-G 
das allgemeine Integral der vorgelegten Gleichung. 
3) Um einen allgemeinen Fall vorzuführen, soll gezeigt 
werden, daß sich zu jeder homogenen Differentialgleichung ein 
integrierender Faktor unmittelbar angeben läßt. 
Sei 
Mdx + Ndy = 0 
eine homogene Differentialgleichung (33l); da identisch gilt: 
Mdx + Ndy = 
-£{(**+ *») (t + t) + {Mx - &- d f)}’ 
so ist 
Mdx + Ndy _ 1 1( . 1 Mx—Ny .y . 
Mx + Ny 2 Ui \‘ l d) 2 Mx+Ny a x 5 
weil nun Zähler und Nenner des Bruches homogen 
sind von gleichem Grade, so läßt er sich als Funktion 
von — = u darstellen, so daß 
x ’ 
Mdx -f Ndy 
Mx -f"Ny 
1 
J 
dl(xy) — cp(u) 
du 
u ’ 
mithin verwandelt der Faktor ,, r . . r die linke Seite der 
Mx-\-Ny 
Differentialgleichung in ein Aggregat exakter Differentiale, ist 
also ein integrierender Faktor derselben. 
Der Faktor wird illusorisch für Mx •+- Ny = 0. Man 
erledige diesen Sonderfall.