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Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
Die Gleichung (xy + y 2 ) dx — (x 2 — xy) dy = 0 mittels 
des integrierenden Faktors zu integrieren. 
337, Lineare Differentialgleichungen. Eine Diffe 
rentialgleichung, welche in bezug auf die zu bestimmende 
Funktion und ihren Differentialquotienten vom ersten Grade 
ist und auch das Produkt der beiden nicht enthält, heißt eine 
lineare Differentialgleichung. Ihre allgemeine Form ist demnach 
(1) %, + rt-Q. 
wenn P, Q Funktionen von x allein bezeichnen. 
Nach Multiplikation mit dx ist also der Teil Qdx exakt, 
der nicht exakte Teil 
dy + Pydx 
hat aber augenscheinlich den integrierenden Faktor —, weil 
O O y ' 
durch dessen Anwendung die Variablen getrennt werden und 
der Ausdruck sich in das exakte Differential von 
ly+ fPdx 
verwandelt; die Differentialgleichung 
dy -f Pydx = 0 
wird also durch 
- f Pdx 
y = e J 
befriedigt; ihr integrierender Faktor 
1 fPdx 
y 
ist, da er nur von x abhängt, auch ein Faktor der ganzen 
Gleichung. 
Durch seine Anwendung verwandelt sich (1) in 
d[yef Pdx ] = Qe^ Pdx dx 
und daraus folgt das allgemeine Integral 
(2) ' y = e~J' Fd * j C +ß'Q<X Pa ’dx} ■ 
Ohne auf den integrierenden Faktor einzugehen, kann man 
dieses Resultat auch auf folgende Weise entwickeln. Betrachtet