Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen.
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man y als Produkt zweier unbekannten Funktionen u, v von
x*), setzt also
y = uv,
woraus
dy du . dv
dx = dx V + U dir. ’
so lautet die Gleichung
C : *0
V -f- u
dv
dx
Qi
sie reduziert sich auf
(3) «£-e.
wenn man u derart bestimmt, daß
;£+*—°i
daraus folgt durch Trennung der Variablen
d u
+ Pdx = 0
und durch Integration
lu + fPdx = 0,
0 ~f Pdx
woraus
u = e
Mit dieser Bestimmung aber lautet (3)
dv = Qc'- 1 dx dx,
woraus
v = C + j*Qe^ [dx dx.
Demnach ist
y = uv = e~J [ dx | C + jQe^ 1 dx dx |
wie oben.
338. Beispiele. 1) Die lineare Gleichung
% = ax+ ly + c
*) Der dieser Substitution zugrunde liegende Gedanke ist zuerst
von Johann Bernoulli (1697) angegeben worden.