Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
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' = _ x* — y* _|_ 1/V—J/T i i _ fl 8 — y* , fl 8 _+j/ 8 . 
■' 2 xy r 4 ic 2 i/ s 2iCi/ — 2 a; 2/ ’ 
sie zerfällt also in die beiden Gleichungen 
y f 
x 
j’ 
welche nach Trennung der Variablen und Integration ergeben: 
y = Cx, x 2 + y“ = C"; 
das erste dieser Resultate bestimmt ein Strahlenbüschel aus 
dem Ursprünge, das zweite eine Schar konzentrischer Kreise 
um denselben. In jedem Punkte der Ebene schneidet sich 
eine Linie des ersten Systems mit einer des zweiten unter 
rechtem Winkel; letzteres war auch schon aus der Differential 
gleichung zu erschließen, wenn man sie in der Form 
y 2 + 
xy 
y —1 = 0 
schreibt; denn in jedem Punkte ist y± ■ y 2 ' =— 1. Eine Aus 
nahmsrolle spielt nur der Punkt 0/0, durch welchen alle Ge 
raden des Büschels gehen. 
In dem andern Falle, wo M 2 — LN kein vollständiges 
Quadrat ist, heißen die Lösungen von (1): 
, — M -f i/M 2 — LN , — M — V M - — LN 
v " L > L T -5 
jede davon kann beide vertreten, wenn man die Quadrat 
wurzel als zweideutiges Symbol auffaßt, und nur, wenn man 
über das Vorzeichen der Quadratwurzel eine bestimmte Fest 
setzung macht, bildet jede Lösung für sich eine Differential 
gleichung ersten Grades. Daraus folgt, daß auch das Integral 
einer der Gleichungen das vollständige Integral bildet, wenn 
man den darin vorkommenden Symbolen die volle Allgemein 
heit beilegt. Weiter ergibt sich in diesem Falle die Tatsache, 
daß das allgemeine Integral, als ein die Ebene doppelt be 
deckendes Kurvensystem, sich wird in die Form 
(2) PC 2 + 2 QC+R = 0 
bringen lassen, wo C die willkürliche Konstante bedeutet und 
P, Q, Pl eindeutige Funktionen von x, y sind.