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Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
Da durch jeden Punkt, in welchem durch (1) zwei reelle 
Richtungen bestimmt sind, auch zwei reelle Kurven von (2) 
sich schneiden, mit anderen Worten, da (1) und (2) gleichzeitig 
reelle, bzw. komplexe Lösungen ergeben müssen, so sind 
die Diskriminanten M 2 — LN, Q 2 — PR stets gleich be 
zeichnet und verschwinden auch gleichzeitig, falls sie über 
haupt Null werden. 
Als erläuterndes einfaches Beispiel diene die Gleichung 
xy" 1 = y, 
sie gibt 
' , Vy 
V = ± JF; 
yx 
nach Trennung der Variablen 
dy dx r. 
~± -p = 0; 
Vy 
die Integration liefert weiter 
Vy ±Vx = ±yc-, 
nach Fortschaffung der zweideutigen Symbole ergibt sich 
0» - y) 2 - 2C(x + y) + C 2 = 0, 
und dies hat [tatsächlich die Form (2). Weil die Glieder 
gruppe zweiten Grades ein vollständiges Quadrat bildet, so 
sind die Integralkurven Parabeln; sie berühren beide Koordinaten 
achsen in gleicher Entfernung (= C) vom Ursprünge. Jede 
Gleichung, wie Yy Yx = 1/0, mit bestimmten Zeichen der 
Wurzeln bedeutet nur einen Zweig einer Parabel. 
Auch bei einer Differentialgleichung erster Ordnung n-ten 
Grades kommt es darauf an, ob es ¡unter den Auflösungen 
nach y' auch rationale Lösungen gibt oder ob alle Lösungen 
irrational (im weiteren Sinne) sind; im ersten Falle zerfallt 
das Integralsystem in mehrere Kurvenscharen, im zweiten ist 
es nur eine die Ebene im allgemeinen w-fach bedeckende 
Kurvenschar. 
340. Beispiele. 1) Die Gleichung 
(x 2 + 1 )y 2 = 1