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Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
setzt man dies in die aufgelöste Gleichung ein, so ergibt sich 
das allgemeine Integral 
V = oc + 
1 -f-ce 2 * 
l~ce 2x ' 
242. Die in x, y linearen Differentialgleichungen.. 
Zu den Differentialgleichungen, welche nach yoraufgegangener 
Differentiation integriert werden können, gehört auch die in 
x, y lineare Differentialgleichung*) 
(!) v = X( p Cp) + f\p) (p = • 
Eine solche Differentialgleichung definiert ein System von 
Linienelementen solcher Art, daß die Punkte paralleler Ele 
mente auf einer Geraden liegen (Fig. 181); denn für jeden 
besondern Wert von p stellt (1) eine 
Gerade dar vom Richtungskoeffizien 
ten (p (p) und vom Achsenahschnitte 
f{p)- Im allgemeinen ist die Rich 
tung der Linienelemente von jener 
der Geraden verschieden, auf welcher 
die Punkte liegen; fallen aber die 
. y Richtungen zusammen, ist also 
(2) <p (jp) = p, 
so ist die betreffende Gerade auch eine Integralkurve der Glei 
chung (1). Es hat also die Gleichung (1) unter ihren Integral 
linien so viele Gerade, als die Gleichung (2) reelle Lösungen 
für p besitzt. 
Zum Zwecke der Gewinnung des allgemeinen Integrals 
differentiiere man die Gleichung (1) und ersetze dy durch pdx\ 
dadurch entsteht 
pdx = cp{p)dx + [xcp\p) -f f{pf\dp. 
Dies, auf die Form 
(3) 
^ _ <p' Cp) x = f(j?) 
dp p~(p{p) p — (p{p) 
*) Yon J. d’Alembert 1748 zuerst behandelt und auch nach ihm 
benannt.