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Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
dem allgemeinen Integral enthalten, also ein partikuläres In 
tegral, entsprechend dem Werte (7=0. 
344. Die Clairantsche Differentialgleichung. Ein 
besonderer Fall der in x, y linearen Differentialgleichung ist 
die Clairantsche Gleichung*) 
y = xp + /‘(p); 
(5) 
wie man aus der Vergleichung mit der allgemeinen Form (1) 
erkennt, ist hier die Bedingung (2) identisch erfüllt; es sind 
also auch alle durch (5) für verschiedene Werte von p be- 
stimmten Geraden Integralkurven von 
(5), folglich das Geradensystem 
Fig. 182. 
T 
zugleich das allgemeine Integral 
(Fig. 182). 
Hat das Geradensystem eine 
Einhüllende, so ist diese gleichfalls 
Integralkurve; denn ihre Tangenten 
mit den Berührungspunkten bilden 
/ 
X 
0 
Linienelemente, die zu den durch (5) definierten Elementen ge 
hören. Man erhält die Einhüllende, indem man (6) in bezug 
auf C differentiiert und zwischen der so entstandenen Gleichung 
0 = » + f\C) 
(7) 
und der Gleichung (6) C eliminiert. 
Zu diesen Resultaten gelangt man auf analytischem Wege 
in folgender Weise. Wird (5) differentiiert und dy=pdx 
gesetzt, so ergibt sich 
pdx = p dx + \x + dp, 
also 
[x + f\p)]dp = 0. 
Dies zerfällt aber in die beiden Gleichungen: 
dp = 0, 
x+f(jp) = 0; 
*) Eine Gleichung dieser Form hat A. Clair aut zum erstenmal 
gelöst in einer Abhandlung aus dem Jahre 1734 (Histoire de l’Acad. de 
Sc. de Paris).