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Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
Ihr allgemeines Integral 
O D 
r= CX- 
BC 
AC+1 
gibt ; wenn man auf die ursprünglichen Variablen zurückgreift, 
die allgemeine Lösung der vorliegenden Aufgabe; 
y 2 == Cx 2 — 
BC_ 
AC+ 1 
Die Krümmungslinien projizieren sich demnach auf der xy- 
Ebene in ein System von koaxialen Kegelschnittslinien, und 
zwar die eine Schar in Ellipsen (C < 0), die andere Schar in 
Hyperbeln (C > 0). 
3) Diejenige Kurve zu finden, bei welcher die Summe der 
Achsenabschnitte der Tangente konstant ist. 
4) Diejenige Kurve zu bestimmen, bei welcher das Produkt 
der Achsenahschnitte der Tangente konstant ist. 
5) Es soll jene Kurve bestimmt werden, bei welcher der 
durch die Koordinatenachsen auf der Tangente gebildete Ab 
schnitt konstant ist. 
§ 3. Singuläre Lösungen. 
246. Ableitung der singulären Lösung aus dem all 
gemeinen Integral. Die zuletzt behandelte Clairautsche 
Gleichung bot eine eigentümliche Erscheinung dar: neben dem 
allgemeinen Integrale, das ein System von geraden Linien dar 
stellt, wurde eine zweite Lösung gefunden, welche der Ein 
hüllenden jenes Geradensystems entspricht. 
Dies ist jedoch nur der einfachste Fall einer allgemeinen 
Tatsache, welche sich in folgendem Satze ausspricht: Hat das 
System der Integralkurven einer Differentialgleichung erster Ord 
nung eine Einhüllende, so ist diese auch eine Lösung der 
Gleichung. 
Denn jede Tangente einer Integralkurve mit ihrem Be 
rührungspunkte zusammengefaßt bildet ein Linienelement, das 
der Differentialgleichung genügt; folglich genügen ihr auch 
die Tangenten der Einhüllenden mit ihren Berührungspunkten 
weil sie zu den Elementen der Integralkurven gehören (Eig. 185). 
Eine Lösung von der betrachteten Art, welche außerhalb 
des allgemeinen Integrals besteht in dem Sinne, daß sie sich