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Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
Ort dieser singulären Punkte eine Kurve, die in dem durch 
(3) bestimmten Gebilde enthalten sein muß, die aber der Dif 
ferentialgleichung im allgemeinen nicht genügt, weil ihre Linien 
elemente verschieden sind von denen der Integralkurven. 
Man hat daher die Gleichung (3) oder die einzelnen Glei 
chungen, in welche sie etwa zerfällt, darauf zu prüfen, oh 
durch sie der vorgelegten Differentialgleichung genügt wird; 
nur wenn dies der Fall, hat man es mit einer singulären 
Lösung zu tun; im andern Falle mit einem Orte von Knoten- 
punkten oder Spitzen. 
Der Ausdruck <D(x, y) ist die in bezug auf C gebildete 
Diskriminante von (1). Im Falle also das allgemeine Integral 
quadratisch ist in C, wie 
(4) PC 2 +2QC + B = 0, 
so ergibt sich eine etwa vorhandene singuläre Lösung durch 
Annullierung von Q- — PB oder eines Faktors dieses Aus 
druckes. 
Ändert Q 2 — PB bei dem Durchgänge durch Null sein 
Zeichen, so zeigt dies an, daß das Kurvensystem (4) die Ebene 
zu einer Seite der Kurve 
(5) Q 2 - PB = 0 
doppelt, zur andern Seite nicht bedeckt; (5) kann unter solchen 
Umständen entweder Einhüllende oder Ort von Spitzen sein. 
Behält dagegen Q 2 — PB, wenn es nicht verschwindet, 
beständig das positive Vorzeichen bei, so zeigt dies an, daß 
das System (4) die Ebene überall doppelt bedeckt, und dann 
kann (5) nur den Ort von Doppelpunkten darstellen. 
Was von Q 2 — PB gesagt worden, gilt auch von einem 
Faktor der Diskriminante. 
347. Ableitung der singulären Lösung aus der 
Differentialgleichung selbst. Jeder Punkt der Einhüllen 
den eines Kurvensystems ist als gemeinsamer Punkt zweier 
unendlich benachbarten oder vereinigt liegenden Kurven des 
Systems aufzufassen, in welchem auch die Tangenten der bei 
den Kurven zusammenfallen.