Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
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Punkten dem Gleichungssysteme (7) genügt, als eine Integral 
kurve dieses Systems zu bezeichnen ist. Die oo 3 Linien 
elemente, welche durch (7) definiert sind, ordnen sich solcher 
Art zu oo 2 Integralkurven. Damit stimmt denn auch das 
Auftreten zweier willkürlichen Konstanten in den Integralen von 
(7) überein; jede der oo 2 Wertverb indun gen dieser Konstanten 
führt zu einer speziellen Kurve. 
In dem obigen Beispiele ist das System der Integralkurven 
durch das Gleichungspaar (6) oder auch durch die beiden 
Gleichungen (4) und (5*) dargestellt. Die letzteren lassen sie 
sogleich als Hyperbeln erkennen, nämlich als Schnitte der 
hyperbolischen Zylinder y 2 — s 2 = a mit den Ebenen y -\- z = hx. 
354. Beispiele. 1) Die Differentialgleichungen 
dx dy dz 
x ~ y ~ z 
bestimmen das Bündel der Geraden durch den Ursprung; denn 
ihre Integrale sind 
y = ax, s = hy, 
durch jeden Punkt des Raumes geht eine Integrallinie, aus 
genommen den Ursprung, in welchem dx; dy: dz unbe 
stimmt ist. 
2) Auf die Differentialgleichungen 
dx dy dz 
ßz — yy yx — az cey — ßx 
läßt sich das vorhin erörterte Verfahren nicht unmittelbar 
anwenden. Erweitert man aber die drei Verhältnisse mit den 
Zahlen a, ß, y und bildet die Summe der Zähler und der 
Kenner, so entsteht ein neues, den früheren gleiches Verhältnis; 
da jedoch sein Nenner = 0 ist, muß es der Zähler auch 
sein; aus 
adx + ßdy -f- ydz = 0 
folgt aber 
(A) ax -f- ßy -{- yz = a. 
In gleicher Weise findet man, die drei Verhältnisse mit 
den Zahlen x, y, z erweiternd, daß 
xdx -j- ydy -f zdz = 0