Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
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Ist ein Fundamentalsystem y x , y 2 , . . ., y n gegeben, so ist 
damit die zugehörige homogene Differentialgleichung bestimmt. 
Schreibt man sie nämlich in der Form 
(8) 
y {n) + Piy {n ~ 
D + .. 
+p n y = 
o, 
so bestehen für alle Werte 
von X 
die Gleichungen 
2/i W + iW n 
- 1) + - 
•'+Mi 
= 0 
(9) 
jV’+iW 
-V + - 
’ ' +P n y-2 
= 0 
y n {n) + ihy^ n 
- 1) + * 
■ • + VnVn 
==0 
und durch diese sind, weil ihre Determinante D =j= 0, die Koef 
fizienten p x , p%, . . ., p n bestimmt. Man kann übrigens das 
Resultat der Elimination von p x , p%, . . ., p n aus (8) mit Hilfe 
der Gleichungen (9) auch durch 
(10) 
yi n ) 
yö 1 - 1 ) .. 
• y 
yfp 
■ Vi 
<n 
y^ {n ~ 1) • • 
• y2 
Vn {n) 
y n {n ~ l) • • 
• y n 
= 0 
darstellen. Dies also ist jene Differentialgleichung, für welche 
y x , y 2 , ..., y n ein Fundamentalsystem von Partikularintegralen ist. 
Wäre beispielsweise die Frage nach jener homogenen 
linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung gerichtet, für 
welche y x = sin ax, y 2 = cos ax ein Fundamentalsystem bil 
den*), so gibt 
y" v y 
— a~ sin ax, a cos ax, sin ax 
a sin ax, cos ax 
= 0 
— a“ cos ax, 
Antwort auf die Frage; in entwickelter Form heißt diese 
Gleichung 
y" + a*y = 0. 
*) Daß diese Funktionen geeignet sind, ein Fundamentalsystem 
darzustellen, geht daraus hervor, daß ihre Determinante 
Vi 
Vi 
sin ax 
a cos ax 
ys 
yf 
cos ax 
— a sin ax 
also von Null verschieden ist.