Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
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364. Komplexe und mehrfache Wurzeln der cha 
rakteristischen Gleichung. Eine besondere Besprechung 
erfordern die komplexen und die mehrfachen Wurzeln der cha 
rakteristischen Gleichung. 
Ein Paar konjugiert komplexer Wurzeln, wie a + ßi und 
cc — ßi, liefert zu dem allgemeinen Integrale den Bestandteil 
C^a+ßi)x _p c ^ e {a-ßi)x, 
wofür nach 105 geschrieben werden kann: 
e aa: [c 1 (cos ßx -f i sin ßx) + c 2 (cos ßx — i sin ßx)]- 
bezeichnet man die willkürlichen Konstanten c x + c 2 , i(c x — c 2 ) 
mit G 1} C 2 , so nimmt dies den Ausdruck 
(6) 
e ax [C 1 cos ßx -j- C 2 sin ßx] 
an. Hiernach führt ein Paar konjugiert komplexer Wurzeln zu 
einem aus einer Exponentialfunktion und trigonometrischen 
Funktionen zusammengesetzten Beitrage zum allgemeinen In 
tegrale, welcher in dem Falle a — 0, d. i. für rein imaginäre 
Wurzeln, rein trigonometrisch wird. 
Hat die charakteristische Gleichung mehrfache Wurzeln, 
so scheint es zunächst, als ob man nicht die zur Bildung des 
allgemeinen Integrals nötige Anzahl partikulärer Integrale er 
halten könnte; die folgende Betrachtung wird jedoch zeigen, daß 
eine X-fache Wurzel r 1 genau auf X verschiedene Integrale führt. 
Mit Benutzung der Substitution 
welche zu den Ableitungen 
V 
y" ze r ' x + z e r ' x 
y" = r x e? iX I zdx + 3r x ze r> - x -f 3r x z e riX -f- z'e riX