Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
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(vgl. 365, 5 a)) in der Form 
y = u cos 2 x + v sin 2 x, 
so ergeben sich zur Bestimmung von u, v die Gleichungen: 
u cos 2 x + v sin 2 x = 0 
— 2 u' sin 2 x + 2 v cos 2 x = sin x + sin 2 x, 
ans welchen sich 
2u = — sin # sin 2 ic — sin 2 2 # 
2 v = sin a; cos 2 x -j- sin 2 ir cos 2 # 
ergibt. Man führe die weitere Rechnung 
daß das endgültige Integral lautet: 
y — A cos 2 x + B sin 2 x + - 
durch und zeige, 
x cos 2a? 
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§ 8. Integration durch Reihen. 
368. Allgemeine Yerfahrungsweisen. Wenn die zur 
Integration vorgelegte Gleichung unter keine der bisher be 
handelten Formen fällt, bei welchen die Lösung auf Quadraturen 
sich zurückführen läßt, so greift man zu dem Hilfsmittel der 
Integration durch Reihen. 
Vorausgesetzt, daß eine die Gleichung befriedigende Funk 
tion von einer Stelle x 0 der unabhängigen Variablen aus sich 
in eine Potenzreihe entwickeln läßt, wird diese Entwicklung 
durch die Taylor sehe Reihe gegeben sein und allgemein lauten: 
(1) y = Vo + ~ x o) + f ? -2 0» - ^o) 2 + • • •, 
wobei y 0 , y 0 ', y Q ", ... die zu x = x 0 gehörigen Werte von y 
und seinen Ableitungen bedeuten. Die Differentialgleichung 
gestattet die Gewinnung dieser Werte auf Grund folgender 
Erwägungen. 
Angenommen, die Gleichung sei von der w-ten Ordnung 
und lasse sich in bezug auf den höchsten Differentialquotienten 
y^> auf lösen; dann wird 
y (n) = <pi x , y, y',- y {n - X) ) 
die allgemeine Form der Gleichung sein.