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Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
Die Gleichung (2) gestattet aber, auch die höheren Ab 
leitungen von y über die n-te hinaus durch x, y, y, . . ., y( n ~V 
darzustellen; denn differentiiert man sie nach x, so entstehen 
rechts alle Differentialquotienten bis zur w-ten Ordnung ein 
schließlich, und ersetzt man den höchsten von ihnen durch 
seinen Wert aus (2), so wird auch yi ll+r ) durch x, y,y, ..., 
ausgedrückt sein. Auf das Resultat dasselbe Verfahren an 
gewendet, ergibt y { ' n + 2 ) in analoger Darstellung, usw. 
Nun liegt es im Wesen einer Differentialgleichung n- ter 
Ordnung, daß man einem Werte x = x 0 der unabhängigen 
Variablen beliebige Werte von 
y {n ~ l) 
zuordnen kann; bezeichnet man diese Werte mit 
c v C 21 • • ■} C ni 
so sind nach dem Vorausgeschickten für x = x Q alle Ab 
leitungen von y, von der w-ten angefangen, durch c v c s , . . ., c n 
ausgedrückt und hiermit die Koeffizienten von (1) gewonnen. 
Da ein auf solche Weise gefundener Ausdruck für y n will 
kürliche Konstanten enthält, stellt er das allgemeine Integral 
dar, jedoch nur dann und so weit, als die Reihe konver 
gent ist. 
Liegt nichts im Wege, die Null als Ausgangspunkt der 
Entwicklung zu wählen, so tritt die Maclaurinsche Reihe 
an die Stelle der Taylorschen und es bedeuten nun in 
(3) y = y 0 -\~ + '-^x 2 
y 0 , yo, yö\ • • •> die zu x = 0 gehörigen Werte von y, y, y", .... 
Indessen ist der angedeutete Weg nur in besonders ein 
fachen Fällen zu empfehlen. Zweckmäßiger ist es zumeist, 
die Reihe für y der Form nach anzunehmen, also 
(4) y = A 0 x m + A t x m+p ‘ -]- A. 2 x m+P - -f • • • 
zu setzen; unter der Voraussetzung, daß diese Reihe konvergent 
ist, ergeben sich auch für y, y", . . ., yW konvergente Reihen 
durch gliedweise Differentiation von (4) (88). Alle diese 
Reihen in die vorgelegte Differentialgleichung eingesetzt, erhält 
man eine Gleichung, welche identisch, d. h. für alle Werte