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Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
Entwickelt man links nach, den Elementen der ersten 
Kolonne, so ergibt sich eine Gleichung von der Form 
i AF{x) + (i^- 1 + B 2 x s ~ 2 -| \-B t )<p(x) 
^ ' \ + ([Ä 1 x r ~ 1 + A 2 x r ~ 2 H 1- Ä r )^(x) = 0; 
darin bedeuten, A, B v . . . B s , A v . . . A r die ünterdeterminanten, 
welche den Elementen der ersten Kolonne konjugiert sind, 
also durchwegs konstante Größen, deren erste laut (2) von 
Null verschieden ist. 
folgt aus 
(4) 
Fix) 
cp(x)ip{x) 
Aus (3) aber drückt sich ~r^rrrr 
v ' Cp[x)'lp{x) 
r — 1 1 r — 2 1 1 
CC ± X -j— Cig X • • * —p* CCy 
cp(x) 
ßjX* 1 4~ ßz®* 2 H b ßs 
ip(x) 
wie 
Daß die beiden Brüche rechts irreduktibel sind, erkennt 
man aus (3); hätten nämlich a 1 x r ~ 1 + ••• + «,. und q>(x), 
also auch A 1 x r ~ 1 + • • • + A r und cp ix), einen gemeinsamen 
Teiler, so wäre dieser vermöge (3) auch Teiler von F{x) — 
F(x) 
gegen die vorausgesetzte Irreduktibilität von 
Cp (x) (x) 
Hiermit ist der obige Satz im ganzen Umfange bewiesen. 
Die wirkliche Zerlegung kann auf dem eben bezeichneten 
Wege mit Zuhilfenahme des Satzes der unbestimmten Koeffi 
zienten (89) erfolgen. Nachdem man nämlich den Ansatz (4) 
gebildet, befreie man ihn von den Nennern und vergleiche in 
F(x) = (a 1 x r ~ 1 -]- a 2 x r ~ 2 + • • ■ + a r )ip(x) 
+ (ß^- 1 + ß 2 x s ~ 2 H h ß s )<P(x) 
die Koeffizienten gleicher Potenzen links und rechts; dadurch 
ergibt sich die gerade notwendige Anzahl von r + s linearen 
Gleichungen zur Bestimmung der Koeffizienten 
«1 * • * «r, ßi ■ ■ • ßs- 
Aus dem obigen Satze läßt sich der folgende ableiten: 
Der irreduktible echte Bruch ■—77— 7-7 , in welchem 
9»i(®)fP*(«) • • • 
keine zwei Faktoren des Nenners einen gemeinsamen Teiler 
haben, läßt sich nur auf eine Art in eine Summe irreduktibler 
echter Brüche mit den Nennern g> 1 (x), cp 2 (x),. . ., cp a {x) auf lösen.