Zweiter Abschnitt. Unbestimmte Integrale. 
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das rechtsstehende Integral bezieht sich auf ein binomisches 
Differential, das bei ganzzahligem n immer integrahel ist. 
2) Zu einem analogen Resultate führt 
ß 
ja + 1 
x n arcsin x dx = arcsin x 
n -f-1 
insbesondere ist (227, 2)) 
1 l'x n +1 d x 
n 4-1 J l/l — x 2 ’ 
ß 
x arcsin x dx = — arcsin x 
+ 
T/i 
V* 
x s dx 
VÏ 
-:vr 
—2 , —1 ■ , 
x* 4 arcsin x + C. 
3) Durch die Formel 
ß 
x n+1 
x n arctg xdx = ' , - 
° n 4-1 
arctg x 
1 I x n + 1 dx 
n-\-l J 1 -f- x 2 
ist das linksstehende Integral bei rationalem n auf das einer 
algebraischen stets integrierharen Funktion, bei ganzem posi 
tiven n insbesondere auf die Form 238, 3) zurückgeführt. 
251. Allgemeine Reduktionsformeln, Über die 
Funktionen <p{x) und ip{x) seien die nämlichen Voraussetzungen 
gemacht wie vorhin; auf das Integral 
Jcp(x) i\>(x) n dx (n > 0) 
die partielle Integration mit der Zerlegung u = ip(x') u , 
dv = (p{x) dx angewendet, erhält man: 
(2) f(p(pc) ip{x) n dx = 0(x) ip(x) n — nj <&(x) tp'(x) xp[x) n ~ 1 dx; 
bei dem neuen Integral kommt man mit demselben Verfahren 
nur dann weiter, wenn auch die algebraische Funktion 
<D(x)xp'(x) ein algebraisches Integral gibt. 
Bei dem Integrale 
f^ dx > 0) 
hätte man, um eine Reduktion zu erzielen, die partielle In 
tegration mit der Zerlegung u = — x - , d v = ^ auszu- 
ip\x) ty (,x) n 
führen; dies gibt 
(3) f y(Ü dx = _ vfo) , 1 fj) dx 
J y{x) n (n— l)ip'(x)'ip(x) n ~ l n — 1 J X/ ip f (x) Tp{x) n ~ v