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Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
eine weitere Herabminderung des Exponenten der transzen 
denten Funktion kann nacb demselben Verfahren, mit Hilfe 
D, 
cp (x) 
der Zerlegung u = —dv = ^ erfolgen. 
Ö Ö y\x) (x) n “ 1 7 ö 
Beispiele. 1) Der durch die Formel (2) ausgedrückte 
Vorgang läßt sich auf das Integral fx m (l x) n dx anwenden; es 
ist nämlich 
fx m (lx) n 
dx 
,m + 1 
X 
m -)- 
jfx m (l x) n ~ ] 
dx 
— CI x) n 
• 1 v ' m 
(m 4= — 1) 
und die Formel bei n > 0 eine wirkliche Reduktionsformel. 
Ebenso ergibt sich für 
/arcsin” x dx = .x arcsin” x — n I X arcsin”“ 1 x dx, 
J Jyi-x 2 
wenn man auf das rechtsstehende Integral denselben Vorgang 
nochmals anwendet ; wodurch 
arcsin n ~ 1 xdx 
--yr 
y ' x 
Vl — x 2 
x 2 arcsin”“ 1 # + [n — 1) Ja 
arcsin" 
i n ~ 2 xdx 
erhalten wird, die Reduktionsformel 
j arcsin” xdx 
= x arcsin” x + n]/l — x 2 arcsin”~ 1 x — n(n — l) f arcsin”“ 2 x dx. 
2) Auf Grund der Formel (3) ist 
f x m dx x m + 1 m-1-1 C x rn dx 
f = 7 + - I —7 (w=4=— 1), 
J (l x) n (n—1 )(lx) 1 n — 1J (Ix) 1 
(l x) n (n — 1) (lx) n 1 ' n — 1J (Ix) 7 ' 
und diese Formel führt nach wiederholter Anwendung schließ 
lich auf das Integral 
" x m dx 
Ix 7 
das durch die Substitution # m + 1 = z auf das Integral 
/ 
(4) 
J 
'dz 
Iz 
zurückgeführt wird, eine neue transzendente, welche als Inte 
grallogarithmus bezeichnet wird.