Erster Abschnitt. 
Eine Funktion einer einzigen abhängig Veränderlichen 
wird gesucht. 
§• 1. 
Stellung der Aufgabe. 
I. Angenommen, in einer Ebene seien zwei Punkte gegeben, 
deren Abszissen a und b (bei rechtwinkeligen Koordinaten) seien, 
und man soll zwischen diesen Punkten in der Ebene eine Kurve zie 
hen, deren durch jene zwei Punkte begrenzter Bogen kleiner sei als 
der eben so begrenzte Bogen irgend einer anderen solcher Kurven. 
Ist allgemein y die Ordinate irgend einer der unzählig vielen 
möglichen Kurven, die alle durch die beiden Punkte gehen, so ist 
die Länge des Bogenstückes: 
s== yV i + Gf) dx (a) 
a 
wo wir allerdings voraussetzen, es sei b a, und in der ganzen 
Ausdehnung wachse der Kurvenbogen mit wachsendem x. Dies dür 
fen wir aber in unserer Aufgabe sicherlich, da Kurven, welche eine 
Zurückbiegung erleiden, dieselbe nicht lösen können. 
Ist y als Funktion von X bestimmt, so ist damit die Kurve seihst 
bestimmt, so dass wir also aussprechen dürfen, es solle in (a) die 
Funktion y so bestimmt werden, dass für dieses y der Werth von 
(a) geringer sei als für ein anderes. 
Den Grundbegriffen der Lehre von den grössten und kleinsten 
Werthen zufolge werden wir aber mit der gesuchten Kurve nur solche 
Di eng er, Variationsrechnung. 1