§. 3. Allgemeinere Aufgabe. 
Ausdruck muss dann, bei kleinem £, mehr sein, als für £ — 0, d. h. 
der neue Werth (des Bogens) muss ein Minimum sein für £ = 0. 
Lässt man, insofern nicht ganz besondere Bedingungen obwal 
ten, ip (x, e) durchaus willkürlich (mit der einzigen Bedingung für 
e = 0), so ist sofort zu ersehen, dass man alle möglichen Nachbar 
kurven erreichen kann, also die Aufgabe richtig gelöst ist *). 
IV. Statt y durch ip (x, £), d. h. eine geschlossene Funktions 
form zu ersetzen, kann man auch nach II. die Keihenform anwenden. 
Dann setzt man für y: 
y + jdy + ^ ö 2 y -f- 
wo y die gesuchte Funktion, 8y, d 2 y, ... ganz beliebige Funktionen 
von x sind, die man erste, zweite, ... Variation von y nennt. 
Ist y' = —— und man setzt für y: i^(x, £), so hat man für y' 
d ip (x, s) 
die offene Form (f), so hat man für y' zu setzen: 
(0 
Wählt man statt der geschlossenen 
if + -f S,y + ~ «V -1- • 
(fO 
Sy’ = ±Sy, «V=^ 
ist. Bei der Willkürlichkeit von 8y, 8 2 y, 
Grössen (g) ebenfalls ganz willkürlich. 
(g) 
sind natürlich die 
§• 3. 
Allgemeinere Aufgabe. 
I. Seien a und b zwei bestimmte Grössen, f(x, y, y') eine be- 
dy 
kannte Funktion von x, y, -—, so soll y als Funktion von x so be- 
dx 
*) Man kann immer tp so beschaffen denken, dass für s = e 1} wo 
beliebig klein, %f> (x, s x ) = F (¿c), welches auch die Funktion F sei. Ebenso 
eine andere Funktionsform erreicht sein. Lässt 
man nun \p ganz willkürlich, wie dies im Folgenden der Fall ist, so können 
offenbar alle möglichen anderen Funktionsformen als erreicht angesehen 
werden. 
ein 
der 
§• 2 
und 
auf 
zu 
mac 
dj}{ 
d 
bez 
j 
I